3.354 \(\int \frac{(A+B \sin (e+f x)) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=630 \[ \frac{2 \sqrt{a+b} (c-d) (A b-a B) \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{b f (a-b) \sqrt{c+d} (b c-a d)}+\frac{2 (c-d) \sqrt{c+d} (A b-a B) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{b f (a-b) \sqrt{a+b} (b c-a d)}+\frac{2 B \sqrt{a+b} \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} \Pi \left (\frac{(a+b) d}{b (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{b^2 f \sqrt{c+d}} \]

[Out]

(2*(A*b - a*B)*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a
+ b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x])
)/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a +
b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*B)*(c - d)*EllipticF[ArcSin[(
Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c +
d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(
1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f
) + (2*Sqrt[a + b]*B*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a
+ b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin
[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*
x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b^2*Sqrt[c + d]*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.886312, antiderivative size = 630, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 39, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.128, Rules used = {2992, 2811, 2795, 2818, 2996} \[ \frac{2 \sqrt{a+b} (c-d) (A b-a B) \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{b f (a-b) \sqrt{c+d} (b c-a d)}+\frac{2 (c-d) \sqrt{c+d} (A b-a B) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{b f (a-b) \sqrt{a+b} (b c-a d)}+\frac{2 B \sqrt{a+b} \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} \Pi \left (\frac{(a+b) d}{b (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{b^2 f \sqrt{c+d}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((A + B*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(2*(A*b - a*B)*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a
+ b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x])
)/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a +
b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*B)*(c - d)*EllipticF[ArcSin[(
Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c +
d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(
1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f
) + (2*Sqrt[a + b]*B*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a
+ b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin
[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*
x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b^2*Sqrt[c + d]*f)

Rule 2992

Int[(((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/((a_) + (b_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x]
+ Dist[(A*b - a*B)/b, Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2811

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
(2*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticPi[(b*(c + d))/(d*(a + b)), ArcSin[(Rt[(a + b
)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))])/(d*f*
Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rule 2795

Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Dis
t[(c - d)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] - Dist[(b*c - a*d)/(a - b
), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(A+B \sin (e+f x)) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx &=\frac{B \int \frac{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)}} \, dx}{b}+\frac{(A b-a B) \int \frac{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{b}\\ &=\frac{2 \sqrt{a+b} B \Pi \left (\frac{(a+b) d}{b (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{b^2 \sqrt{c+d} f}+\frac{((A b-a B) (c-d)) \int \frac{1}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{(a-b) b}-\frac{((A b-a B) (b c-a d)) \int \frac{1+\sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{(a-b) b}\\ &=\frac{2 (A b-a B) (c-d) \sqrt{c+d} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{(a-b) b \sqrt{a+b} (b c-a d) f}+\frac{2 \sqrt{a+b} (A b-a B) (c-d) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{(a-b) b \sqrt{c+d} (b c-a d) f}+\frac{2 \sqrt{a+b} B \Pi \left (\frac{(a+b) d}{b (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{b^2 \sqrt{c+d} f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 10.2793, size = 1871, normalized size = 2.97 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[((A + B*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(-2*(-(A*b*Cos[e + f*x]) + a*B*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]
) + ((-4*(a*A*c - b*B*c)*(-(b*c) + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[S
qrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/
((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Si
n[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]
)/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - 4*(-(b*c) + a*d)*(A*b*c - a*B*c + a*A*
d - b*B*d)*((Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi
/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e +
f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)
]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(
-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a
*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*C
sc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c
+ d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + 2*(-(A*b
*d) + a*B*d)*((Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(a
+ b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2])/Sqrt[(a + b*S
in[e + f*x])/(a + b)]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*d*Sqrt[((a + b)*Cos
[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(a + b*Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]*Sqr
t[((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]) - (2*(-(b*c) + a*d)*((((a + b)*c + a*d)*Sqrt
[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c
+ d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + P
i/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)
*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*
Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((b*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c
) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]
/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-
e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*S
in[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(b*d)))/((a -
b)*(a + b)*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 148.394, size = 3151745, normalized size = 5002.8 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^(1/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^(1/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*sin(f*x + e) + A)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)/(b*sin(f*x + e) + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{b^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a b \sin \left (f x + e\right ) - a^{2} - b^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^(1/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(B*sin(f*x + e) + A)*sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)/(b^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*b*s
in(f*x + e) - a^2 - b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (A + B \sin{\left (e + f x \right )}\right ) \sqrt{c + d \sin{\left (e + f x \right )}}}{\left (a + b \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))**(1/2)/(a+b*sin(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral((A + B*sin(e + f*x))*sqrt(c + d*sin(e + f*x))/(a + b*sin(e + f*x))**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^(1/2)/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*sin(f*x + e) + A)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)/(b*sin(f*x + e) + a)^(3/2), x)